Jam jest Alef i Omega

Dzisiaj zajrzymy i zobaczymy co słychać u Pana Boga za piecem. Piękna pani medium wprowadzi nas w tajniki zaświatów i pokaże nam ile będzie trwała wieczność.

Wir müssen wissen
Wir werden wissen

Musimy wiedzieć
Będziemy wiedzieć

David Hilbert

Seans się zaczyna. Gasimy światło, zapalamy świecę. Kładziemy ręce na stole i zaczyna się trans… Piękne nasze medium imieniem Matematyka miewa pierwszy obraz. Wyciągamy kajety, pióra i zaczynamy słuchać nauk o wieczności.

Otwiera się zeszyt. Medium jest w transie i bierze pióro do jednej ręki, a linijkę do drugiej. Powoli rysuje odcinek i stwierdza: „Więcej punktów ma ten odcinek, niżli wieczność sekund!”

Jam jest Alef

Trochę temu udało się dowieść pewnego twierdzenia… Ale od początku. Po czym wodzirej pozna, kogo jest więcej? Pań czy panów? Otóż w związku z pewną nieśmiałością mężczyzn, którzy miłują ponad życie wspieranie na swych barkach wielu dyskotek (konkretnie ich ścian), ów mistrz ceremonii ogłasza (bodaj zwie się to Białym Tangiem) „Panie proszą Panów” i wtedy, jeśli dalej widzi wspierających chylący się budynek, znakiem tego brakło dlań niewiast. Z tego nasz spryciarz wyciąga wniosek – za dużo panów. Kiedy obserwuje, panie bezskutecznie polujące na kawalerów to mówi – za dużo niewiast. Kiedy zaś, wszyscy się dobrze bawią to orzeka, że jest tyle samo pań co panów.

Tańczące pary są wzorcowym przykładem relacji. Szczególnym przykładem relacji jest bijekcja. Jest to pewien rodzaj funkcji, właściwie pary funkcji:

  • Ściślej mówiąc jest to para funkcji: f odwzorowującej zbiór X na zbiór Y i g odwzorowującej Y na X o własnościach f(g(y))=y i g(f(x))=x
  • Mniej ściśle jest to „swatanie” elementów zbiorów X i Y w pary. Żadnych singli ani wielu małżonków.

Logicznym jest, że elementy da się połączyć w pary, gdy zbiory są równoliczne (mają tyle samo elementów). No a co, na przykład, ze zbiorami nieskończonymi? Matematycy umówili się, że mocą (pojęcie „liczba elementów” dotyczy wyłącznie zbiorów skończonych – o skończonej liczbie elementów) zbioru liczb naturalnych będzie alef-zero (alef to pierwsza litera alfabetu hebrajskiego). Można udowodnić że zbiory liczb naturalnych i całkowitych są równoliczne. Intuicja podpowiada że liczb całkowitych jest 2*alef-zero – 1, lecz nawet alef-zero*alef-zero daje alef-zero.

Jeśliby ktokolwiek wątpił w w/w własności, to dowody zapisano w polskiej Wikipedii pod adresem: http://pl.wikipedia.org/wiki/Zbi%C3%B3r_przeliczalny. A teraz najciekawsze. Otóż można dowieść, że moc przedziału (0;1) – np. odcinka bez końców, jest większa niż moc zbioru liczb naturalnych – np. sekund w wieczności. Dowodzi się to metodą przekątniową: http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_przek%C4%85tniowa. Zatem rację, wydaje się, ma nasze medium. Ale czy na pewno?

Otóż nie do końca. Matematyka, jako nauka ścisła, stosuje w rozumowaniu modele (w fizyce znane pod nazwą teorii). W tym dowodzie zakładamy, że sekundy płynąć będą w sposób dyskretny, czyli 1, 2, 3, 4, … Lecz gdy nadejdzie pełnia czasów, to może dojść do zmiany sposobu liczenia. Nam ludziom wydaje to się niemożliwe, ale tu warto przytoczyć Pismo Święte (Łk 1, 36-37): „A oto również krewna Twoja, Elżbieta, poczęła w swej starości syna i jest już w szóstym miesiącu ta, która uchodzi za niepłodną. Dla Boga bowiem nie ma nic niemożliwego.”. Proste? Nie, bo to jest wielka tajemnica Boga:

ani oko nie widziało, ani ucho nie słyszało,
ani serce człowieka nie zdołało pojąć,
jak wielkie rzeczy przygotował Bóg tym, którzy Go miłują

Wszyscy uczestnicy naszego seansu są pod wrażeniem. Nagle wyrywa się młody chłopak i mówi: Ale co my tam będziemy robić? Przecież matematyka musi mieć swój koniec! Dojdziemy kiedyś do miejsca, gdy wszystko zostanie udowodnione!

Jam jest Omega

Na początek dwa twierdzenia: http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_G%C3%B6dla. Wynika z nich fakt, że system aksjomatów (np. teoria liczb naturalnych) jest albo sprzeczny, albo istnieją w nim pewne zdania nie do udowodnienia, i ile system ten zawiera aksjomatykę liczb naturalnych. Można to ująć prościej: Jeśli naukowiec wynajdzie Teorię Hiperwertykulacji (cokolwiek to znaczy), to gdy zawrze w jej aksjomatach aksjomaty liczb naturalnych (czyli niejako rozszerzy aksjomatykę tych liczb), to choćby się starał ze wszystkich sił swoich, to i tak będą twierdzenia, których nigdy nie udowodni (chyba że teoria będzie wewnętrznie sprzeczna).

Podstawowym pytaniem nasuwającym się po przeczytaniu w/w akapitu jest: O co mu, do diabła, chodzi? Mianowicie chodzi o to, że w matematyce są pewne twierdzenia nie do udowodnienia – np. Hipoteza Continuum. Czyli innymi słowy, jeśli powołujesz się na liczby naturalne, to wiedz, że pewnych rzeczy nie udowodnisz.

Ale co to jest liczba Omega? W skrócie mówiąc, algorytm to ciąg liczb. Możemy więc losować kolejne liczby programu. Ale ile ich wylosować? To proste! Dopóki komputer będzie je chciał! Dla uproszczenia pokażę to na przykładzie języka Brainfuck (http://pl.wikipedia.org/wiki/Brainfuck). Maszynę go wykonującą, możemy wyobrazić sobie jako głowicę magnetyczną z taśmą. Taśma jest podzielona na pola. Nad jednym z pól znajduje się głowica. Każde pole pamięta bajt – liczbę całkowitą w przedziale <0;255>. W dodatku mamy urządzenie wejścia/wyjścia. Może ono przyjąć taką liczbę (w postaci kodu ASCII – np. litera A to 65; opis kodu na http://pl.wikipedia.org/wiki/ASCII), lub wypisać ją na ekran. Wyobrazić sobie można ją, jako modem lub maszynę do pisania.

Mamy następujące grupy rozkazów:

  1. Inkrementacji i dekrementacji. Głowica zastępuje wartość na taśmie wartością o jeden:
    • powiększoną, nazywamy to inkrementacją i zapisujemy jako +
    • pomniejszoną, nazywamy to dekrementacją i zapisujemy jako –
  2. Przesunięcia taśmy – silniczek przesuwa taśmę o jedno pole
    • w prawo – zapisujemy jako >
    • w lewo – zapisujemy jako <
  3. Wpisania i wypisania znaku/liczby z urządzenia:
    • wpisujemy ,
    • wypisujemy .
  4. Pętli
    • [ – sprawdza czy wartość pod głowicą jest równa zero; gdy tak, to skacze do odpowiadającego ]
    • ] – skacze do odpowiadającego [

Dla naszych potrzeb dodajemy też ; – koniec programu.

Losujemy po znaku, do czasu, kiedy maszyna się o nie dopomina. Kiedy jest koniec, lub gdy maszyna liczy pętlę [] to dalszy program nie ma znaczenia. W przeciwnym wypadku potrzebne są kolejne słowa. I teraz postawmy pytanie: Czy maszyna się zatrzyma? Np. programik +.; zatrzyma się, a -[]; nigdy się nie zatrzyma. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dany program się zatrzyma? To jest definicja liczby Omega.

Warto wspomnieć, że liczby Omega nie da się nijak wyznaczyć. Nie zachodzi tu żadna redundancja (udowodniono!). Omega to symbol nieskończoności matematyki. Ale nie policzonej alefami, lecz takiej, gdzie nikt nie sięga.

Gaśnie świeca, zapala się światło. Nawet w wieczności będzie robota dla matematyków. Hibercie, myliłeś się!

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *